Taller de Matemáticas Discretas Tercer Corte

1. Convierta a binario, octal y hexadecimal los siguientes números en decimal:
    a.) 8543₁₀ 

2. Convierta a decimal los siguientes números en su base indicada:

    a.)7256₈ = 375810

3. Calcule la adición y la  sustracción por complemento la base, de los siguientes pares de números:

    a.)(7256₈, 6286₈)

4. Calcule  el mcd(245,105), mcd(440,225), mcd(1234,56); mediante la aplicación de los algoritmos de:

    a.)Descomposición en factores primos

(245,105)

(440,225)

(1234,56)

5. Calcular: a.) 14852mod314 = 196

6. Utilice el método de exponenciación rápida (útil en técnicas de intercambio de clave y firma digital), para calcular los valores de: 

     a.) 23³²mod51 = 19

7. Calcular: a.) Ø(17) = 16

8. Elabore un breve resumen sobre el artículo denominado: “BASES MATEMÁTICAS DESARROLLADAS EN EL AULA DE CLASE PARA LA SEGURIDAD DE LOS DATOS EN REDES”, publicado en la revista universitaria ED N° 2 de 2014, página 59.

Anteriormente la Criptografía era considerada como un arte, pero en la actualidad se considera una ciencia gracias a su relación con la estadística, la teoría de la información, la teoría de los números y la teoría de la complejidad computacional.

La Criptografía es la ciencia que se encarga del estudio de técnicas para transformar la información a una forma que no pueda entenderse a simple vista; sin embargo, el objetivo de la Criptografía no es sólo mantener los datos secretos, sino también protegerlos contra modificación y comprobar la fuente de los mismos.

La criptografía es una ciencia que se ocupa de los procesos que permiten la alteración de las representaciones lingüísticas de mensajes, mediante técnicas de cifrado o codificado, para hacerlos ininteligibles a los intrusos que intercepten dichos recados. Por tanto, el objetivo de la criptografía es conseguir la confidencialidad de las comunicaciones.

La necesidad de mantener segura la información corporativa que circula por las redes, ha obligado a la adopción de modelos matemáticos que posibiliten el manejo de números grandes y de difícil simplificación como ocurre con los números primos. La aceptación de modelos matemáticos para su estudio y aplicación, como en este caso, requiere que se tenga en cuenta el conocimiento de sus principios fundamentales.

La criptografía es una ciencia multidisciplinaria que involucra las matemáticas, la computación y la tecnología de punta (cualquiera inventada recientemente y sea de avanzada).

La criptografía no es una ciencia nueva ya que se han visto intentos de aplicación en culturas como la romana y, en la actualidad, el impulso dado por los alemanes en la primera y segunda guerras mundiales, entre otros acontecimientos.

Una de las principales aplicaciones de la aritmética modular en la criptografía es la codificación /decodificación de palabras o mensajes, con solo aplicar una sencilla fórmula y cambiar un operador (+ por -).

Las técnicas criptográficas están diseñadas para mantener oculta cierta información; para ello se basa en los principios de la aritmética modular, en casos como el uso de una función simétrica.

Los mensajes se suponen escritos en un determinado lenguaje, mediante signos de un alfabeto (p.ej. el alfabeto latino). Sin embargo, para su tratamiento es conveniente escribirlos numéricamente. En el sistema criptográfico RSA se trata de encontrar un número primo grande, lo cual es difícil de hacer con rapidez.

9. Utilice la expresión de aproximación RSA (n + 15)mod28, para cifrar las siguientes palabras: 

    a.) ENCRIPTAR EL MUNDO

10. Sean p=17, q=23, n=31. Aplique el método RSA de encriptado para realizar los siguientes cálculos: z, Ø, s; cifre 101, 200; descifre 300, 250.

11. Encontrar una fórmula que sea recurrente, de tal manera que sirva para digitalizar las siguientes funciones, con la aproximación de cinco derivadas e implemente la codificación respectiva en Matlab.

      a.) CosX

12. Calcule las combinaciones y permutaciones indicadas:
      a.) ₇C₃ y ₇P₃

Combinación

3^c 7^=7!/(3!(7-3)) =(7*6*5*4)/(3!(4!)) =(7*6*5*4)/(3*2*1(4!)) = 210/6 =35

Permutación

3^P 7^=7!/((7-3)) =7!/((4!)) =5040/24 =210

13. Utilice la combinatoria para hacer la expansión de los siguientes binomios:      

      a.) (2 + y)¹⁰

14. Una clase se compone de 12 niños y 10 niñas. Hallar el número de posibilidades que tiene un profesor de elegir un comité de: a.) de 6

=(22¦6)= 22!/(6!*16!) = (22*21*20*19*18*17*16)/(6*5-*4*3*2*1*16!) =149226/2 =74613

 15. Cuántas palabras o cifras se pueden expresar con los elementos de los siguientes conjuntos: 

IMÁGENES EJERCICIO

Taller de Grafos

1. Para cada uno de los siguientes grafos, determine las matrices de adyacencia e incidencia. Utilice la potencia de las matrices de adyacencia para determinar el nivel de los recorridos desde A hasta D, para ambos casos.

Por lo tanto son 3 Niveles (A^3):

2. Aplique las iteraciones apropiadas del algoritmo de Dijkstra, para hallar la ruta mínima desde el nodo 1 hasta el 8, para el siguiente grafo.

V={1,2,3,4,5,6,7,8};   S={1};

D[2]=25, D=[3]=24, D[4]=12, D[5]=∞, D[6]=∞, D[7]=∞, D[8]=∞, P[1]=1

Iteración 1:

V-S={2,3,4,5,6,7,8}

W=4→S=(1,4)→V-S={2,3,5,6,7,8}

D[2]=min(D[2], D[4] + C[4,2])= min(25,22)=22

P[2]=4

D[3]= min(D[3],D[4] + C[4,2]= min(25,22) = 22

P[3] = 1

D[5]= min(D[5],D[4] + C[4,5])= min(∞,∞) = ∞

P[5] = 1

D[6]= min(D[6],D[4] + C[4,6])= min(∞,32) = 32

P[6]= 4

D[7]= min(D[7],D[4] + C[4,7]) = min(∞,∞)= ∞

P[7]= 1

D[8]= min(D[8],D[4] + C[4,8]) = min(∞,∞)= ∞

Luego: D[2]=22, D[3]=24, D[5]=∞, D[6]=32, D[7]=∞, D[8]=∞

            P[2]= 4,   P[3]=1,    P[5]=1,  P[6]=4,    P[7]=1,  P[8]= 1

Iteración 2:

V-S={2,3,5,6,7,8}

W=2→S=(1,4,2)→V-S={3,5,6,7,8}

D[3]= min(D[3],D[2] + C[2,3]= min(24,∞) = 24

P[3] = 1

D[5]= min(D[5],D[2] + C[2,5])= min(∞,42) = 42

P[5] = 2

D[6]= min(D[6],D[2] + C[2,6])= min(32,∞) = 32

P[6]= 4

D[7]= min(D[7],D[2] + C[2,7]) = min(∞,∞)= ∞

P[7]= 1

D[8]=min(D[8], D[2] + C[2,8])= min(∞,∞)= ∞

P[8]=1

Luego: D[3]=24, D[5]=42, D[6]=32, D[7]=∞, D[8]=∞

            P[3]=1,    P[5]=2,   P[6]=4,    P[7]=1,   P[8]= 1

Iteración 3:

V-S={3,5,6,7,8}

W=3→S=(1,4,2,3)→V-S={5,6,7,8}

D[5]= min(D[5],D[3] + C[3,5])= min(42,∞) = 42

P[5] = 2

D[6]= min(D[6],D[3] + C[3,6])= min(32,36) = 32

P[6]= 4

D[7]= min(D[7],D[3] + C[3,7]) = min(∞,52)= 52

P[7]= 3

D[8]=min(D[8], D[3] + C[3,8])= min(∞,∞)= ∞

P[8]=1

Luego: D[5]=42, D[6]=32, D[7]=52, D[8]=∞

             P[5]=2,   P[6]=4,    P[7]=3,   P[8]= 1

Iteración 4:

V-S={5,6,7,8}

W=6→S=(1,4,2,3,6)→V-S={5,7,8}

D[5]= min(D[5],D[6] + C[6,5])= min(42,∞) = 42

P[5] = 2

D[7]= min(D[7],D[6] + C[6,7]) = min(52,∞)= 52

P[7]= 3

D[8]=min(D[8], D[6] + C[6,8])= min(∞,60)= 60

P[8]=6

Luego: D[5]=42, D[7]=52, D[8]=60

             P[5]=2,   P[7]=3,   P[8]= 6

Iteración 5:

V-S={5,7,8}

W=6→S=(1,4,2,3,6,5)→V-S={7,8}

D[7]= min(D[7],D[5] + C[5,7]) = min(∞,52)= 52

P[7]= 3

D[8]=min(D[8], D[5] + C[5,8])= min(60,66)= 60

P[8]=6

Luego:  D[7]=52, D[8]=60

              P[7]=3,   P[8]= 6

Iteración 6:

V-S={7,8}

W=6→S=(1,4,2,3,6,5,7)→V-S={8}

D[8]=min(D[8], D[7] + C[7,8])= min(60,64)= 60

P[8]=6

Luego:  D[8]=60

              P[8]= 6

Finalmente W=8→S=(1,4,2,3,6,5,7,8)

3. Construya el árbol correspondiente y halle el valor de X para:

  ÁRBOL BINARIO

Solución Matlab

4. Para las siguientes funciones construya el árbol binario y calcule las respectivas derivadas

5. Para cada uno de los siguientes árboles escriba las respectivas expresiones de los recorridos: pre_orden, in_orden y post_orden. Implemente un algoritmo para uno de ellos. Represente el árbol de b como una lista doblemente enlazada.

Pre-orden:

[10,8,6,4,3,2,5,7,9,11,14,12,13,21,22,24]

In-orden:

[2,3,5,4,7,6,9,8,13,12,22,24,21,14,11,10]

Post-orden:

[2,3,5,4,7,6,9,8,13,12,22,24,21,14,11,10]

Pre-orden:

[/,^,*,+,^,b,3,^,a,2,^,a,1/2,2,*,4,+,*,3,a,^,b,/,x,2]

Algoritmo Pre_Orden

Void Pre_Orden (nodoarbol al) {

         If ( al =! NULL)

         {

         Printf (“%3d” al->dato);

         Pre_Orden (al->izquierda);

         Pre_Orden (al->derecha);

         }

}

In-orden:

[b,^,3,+,a,^,2,*,a,^,1/2,^,2,/,4,*,3,*,a,+,b,^,x,/,2]

Algoritmo In_Orden

Void IN_Orden (nodoarbol or) {

         If ( or =! NULL)

         {

         Printf (“%3d” or->dato);

         IN_Orden (or->raiz);

         IN_Orden (or->izquierda);

         }

}

Post-orden:

[b,3,^,a,2,^,+,1/2,^,*,2,^,4,3,a,*,b,x,2,/,^,+,*]

Algoritmo Post_Orden

Void Post_Orden (nodoarbol po) {

         If ( po =! NULL)

         {

         Printf (“%3d” po->dato);

         Post_Orden (po->derecha);

         Post_Orden(po->raiz);

         }

}

6. Se tienen 3 cajas con transistores. La caja A contiene 8, de los cuales 3 son defectuosos, la caja B contiene 6 de los cuales 2 son defectuosos y la caja C contiene 12 de los cuales 4 son defectuosos. construya el árbol de probabilidades y por medio de este determine:

a) La probabilidad de escoger un articulo al azar de cada caja y no sean defectuosos.

b) La probabilidad que uno sea defectuoso y los otros dos no.

c) La probabilidad de escoger un articulo defectuoso y que sea de la caja A.

a) La probabilidad de escoger un artículo al azar de cada caja y no sean defectuosos.

(1/3*5/8)+(1/3*2/3)+(1/3*2/3) = (5/24)+(2/9)+(2/9) = 47/72

Rta: La probabilidad que no sea defectuoso es de 0.65277

b) La probabilidad que uno sea defectuoso y los otros dos no.

(1/3*3/8*1/3*2/3*1/3*2/3)+(1/3*5/8*1/3*1/3*1/3*2/3)+(1/3*5/8*1/3*2/3*1/3*1/3)=4/243

Rta: La probabilidad que no sea defectuoso y los otros dos no es de 0.01647

c) La probabilidad de escoger un artículo defectuoso y que sea de la caja A.

(1/3*3/8)÷(1/3*3/8+1/3*1/3+1/3*1/3)=9/25

Rta: La probabilidad de escoger un bombillo defectuoso de la caja A es de 0.36.

8. Para los siguientes circuitos determine la resistencia equivalente y la magnitud de la corriente total que circula en cada uno.

Para poder reducir el grafo, se r toma la resistencia R2 y R3 se realiza la siguiente operación para obtener la resistencia R6:

R6 = (6+15+10)/5 = 31/5

El siguiente paso se toman las resistencias R4 y R5 para obtener R7, con  la siguiente operación: R7=3+5 ----> R7=8

Como ya se puede  visualizar las resistencias en  serie, se puede realizar el ultimo calculo para obtener la Resistencia Equivalente (RE).

La operación es:

RE=  6 + 31/5 + 8            RE = 101/5

La intensidad total es de:

IT =  10 / 101/5 =  50/101 

50/101 Amp.

La resistencia equivalente es igual a 101/5  y la magnitud de la corriente total  es igual a  50/101

9. Determine los valores de las intensidades de corriente que circulan por cada lazo, para cada uno de los siguientes circuitos:

Las ecuaciones serian:

Iniciando por la dirección de la corriente i1 y voltaje 10 la ecuación seria:

1.       10V - 3i2 ­- 5i1

La segunda ecuación con el voltaje 6:

2.       6V – 3i2 – 11i3

Y la última ecuación que sería la sumatoria de las dos anteriores y con la primera ley que es

i3 = i1 + i2 la ecuación por la dirección de la corriente i3 con el voltaje 10 seria:

3.       16V - 11i3 - 5i1

Como i1 es = i3 + i2, entonces tomamos la ecuación #1 y despejamos.

– 3i2 – 5i1 = -10V  à   – 3i2 – 5(i2 + i3) = -10V   à -8i2 – 5i3 = -10V

e iniciamos con el proceso tomando las ecuaciones #2 y #1

Reemplazo el resultado obtenido en la ecuación #2.

- 3i2 - 11i3 = -6

- 3i2 – 11(0.2465) = -6

- 3i2 = -6 + 11(0.2465)

i2 = -6 + 11(0.2465) / -3

i2 = 1.0961

  

Si reemplazamos en la  primera ley i1= i3 + i2.

i1 =  0.2465 + 1.0961 Amp.

i1 = 1.3426 Amp. 

10. Calcule la transformada y la anti transformada para los siguientes casos.

11. Reduzca los siguientes diagramas de bloques. En el grafo b, determine la función de transferencia mediante la aplicación de la antitransformada de Laplace.

12. Repita el ejercicio anterior, pero en este caso utilice diagramas de flujo de señal.

13. a) Para la siguiente tabla, construya el diagrama de estados y el respectivo circuito con  Flip_Flop tipo D.

B) Un circuito secuencial tiene tres multivibradores biestables A, B, C, una entrada X y una salida Y. El diagrama de estados para el circuito se presenta en la figura. Construya la respectiva tabla diseñe el circuito con Flip-Flops tipo D. Analice el circuito para cerciorarse de que sea autocorrectivo.

ENTRADA				SALIDA
A	B	C	X	A	B	C	Y
0	0	0	0	0	1	1	0
0	0	0	1	1	0	0	1
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	1	1	0	1	0	1
1	0	0	0	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1	0